Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．（1）求证：AE=CF；（2）连结DB交EF于点O

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．（1）求证：AE=CF；（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．

Answer 1

(1)证明见解析 (2)四边形DEGF是菱形．理由见解析

试题分析：（1）由正方形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“SAS”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF； （2）由（1）可得BE=BF，从而可得DE=DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD为EF的中垂线，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证． 试题解析：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°， 又∵∠ADE=∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF； （2）四边形DEGF是菱形． 理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC， ∵AE=CF， ∴AB﹣AE=BC﹣CF， 即BE=BF， ∵△ADE≌△CDF， ∴DE=DF， ∴BD垂直平分EF， 又∵OG=OD， ∴四边形DEGF是菱形．