Question

已知函数f（x）=ax-ax-2lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（2）若2ee2+1＜a＜1，设x1，x

已知函数f（x）=ax-ax-2lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（2）若2ee2+1＜a＜1，设x1，x2是函数f（x）的两个极值点，且x1＜1＜x2，记m、n分别为f（x）的极大值和极小值，令z=m-n，求实数z的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′（x）=

ax2?2x+a

x2

，
令g（x）=ax²-2x+a（a＞0），△=4（1-a²）
①a≥1时，△≤0，g（x）≥0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）‘
②0＜a＜1时，△＞0，令g（x）=0，则x₁=

1? 1?a2

a

，x₂=

1+ 1?a2

a

，
f（x）的单调增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），单调减区间为（x₁，x₂）；
（2）由题意，ax₁²-2x₁+a=0，ax₂²-2x₂+a=0，
∴a=

2x1

x12+1

且x₁x₂=1
由

2e

e2+1

＜a＜1，得

1

e

＜x₁＜1，
z=m-n=2a（x₁-

1

x1

）-4lnx₁=4（

x12?1

x12+1

-

1

2

lnx12）（

1

e2

＜x12＜1）．
令t=x12，则

1

e2

＜t＜1，