Question

如图，在直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），连接BC．

如图，在直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），连接BC．（1）判断△ABC是不是等腰直角三角形，并说明理由；（2）若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），连结AP，作AP的垂直平分线交y轴于点E，垂足为D，分别连结EA，EP； ①当点P在运动时，∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数； ②若点P从点C出发，运动速度为每秒1个单位长度，设△AOE的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

解答：解：（1）如图1，由一次函数y=x+2，则A（-2，0），B（0，2），C（2，0）．
∴OA=OB=OC=2，AC=4，
∴△AOB和△COB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=∠CBO=∠BCO=45°，
∴AB=BC=2

2

，∠ABC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形．

（2）∠AEP的度数不变化；
如图2，连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=45°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=∠BAC+∠ABC=135°，
∴∠EAC+∠EPC=135°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=270°，
故∠AEP=360°-270°=90°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，为定值90°．

（3）如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则有：
CM=MP=

1

2

CP=

t

2

；
∴BM=BC+CM=2

2

+

t

2

；
在Rt△BEM中，∠MBE=45°，则有：BE=

2

BM=

2

（2

2

+

t

2

）；
∴OE=BE-OB=

2

（2

2

+

t

2

）-2=2+

2

2

t；
∴S_△AEC=

1

2

AC?OE=

1

2

×4×（2+

2

2

t）=4+

2

t，
∴S=

1

2

S_△AEC=2+

2

2

t．
故S=

2

2

t+2．