Question

已知a为实数，函数f（x）=x 2 -2alnx．（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；（2）若a＞0，试证明

已知a为实数，函数f（x）=x 2 -2alnx．（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“ a= 1 2 ”．

Answer 1

（1）求导函数，可得 f′(x)=2? x 2 -a x （x＞1） ①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x） min =f（1）=1； ②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得 x= a 当 x∈(1， a ) 时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当 x∈( a ，+∞) 时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数， ∴ x= a 时，f（x） min =a-alna ∴ g(a)= 1，a≤1 a-alna，a＞1 ； （2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x 2 -2alnx-2ax，则 g′(x)= 2 x ( x 2 -ax-1)   ①充分性：若 a= 1 2 ，则g（x）=x 2 -lnx-x， g′(x)= 1 x (2x+1)(x-1) 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数， ∴当x=1时，g（x） min =g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号， ∴方程f（x）=2ax有唯一解； ②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x 2 -ax-a=0， ∵a＞0，x＞0，∴ x 1 = a+ a 2 +4a 2 （另一根舍去） 当x∈（0，x 1 ）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x 1 ）上是单调递减函数； 当x∈（x 1 ，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x 1 ，+∞）上是单调递增函数． ∴当x=x 2 时，g′（x 1 ）=0，g（x） min =g（x 1 ），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x 1 ）=0， ∴ g( x 1 )=0 g′( x 1 )=0 ∴ x 1 2 -2aln x 1 -2a x 1 =0 x 1 2 -a x 1 -a=0 ∴2alnx 1 +ax 1 -a=0 ∵a＞0 ∴2lnx 1 +x 1 -1=0 设函数h（x）=2lnx+x-1 ∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解． ∵h（1）=0，∴方程2lnx 1 +x 1 -1=0的解为x 1 =1，即 x 1 = a+ a 2 +4a 2 =1 ，∴ a= 1 2 由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“ a= 1 2 ”．