Question

已知数列{an}的通项公式为an=25-n，数列{bn}的通项公式为bn=n+k，设cn=bn，an≤bnan，an＞bn若在数列{cn}

已知数列{an}的通项公式为an=25-n，数列{bn}的通项公式为bn=n+k，设cn=bn，an≤bnan，an＞bn若在数列{cn}中，c5≤cn对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

若c₅=a₅，则a₅＞b₅，则前面不会有b_n的项，
∵{b_n}递增，{a_n}递减，∴b_i（i=1，2，3，4）＜b₅＜a₅＜a_i（i=1，2，3，4），
∵a_n递减，∴当n≥6时，必有c_n≠a_n，即c_n=b_n，
此时应有b₆≥a₅，∴a₅＞b₅，即2⁰＞5+k，得k＜-4，
b₆≥a₅，即6+k≥1，得k≥-5，
∴-5≤k＜-4．
若c₅=b₅，则b₅≥a₅，同理，前面不能有b_n项，
即a₄≥b₅＞b₄，当n≥6时，∵{b_n}递增，{a_n}递减，
∴b_n＞b₅≥a₅＞a_n（n≥6），
∴当n≥6时，c_n=b_n．由b₅≥a₅，即5+k≥1，得，k≥-4，
由a₄≥b₅，得2≥5+k，得k≤-3，即-4≤k≤-3．
综上得，-5≤k≤-3．
∴实数k的取值范围是[-5，-3]．
故答案为：[-5，-3]．