Question

若函数f（x）=a-1|x|的定义域与值域均为[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围

若函数f（x）=a-1|x|的定义域与值域均为[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．

Answer 1

∵函数f（-x）=a-

1

|?x|

=a-

1

|x|

=f（x）
∴函数是偶函数
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增
①当x＞0时，f_max（x）=f（n）=a-

1

n

=n，即n²-an+1=0；
f_min（x）=f（m）=a-

1

m

=m，即m²-am+1=0
∴m、n是关于t的一元二次方程t²-at+1=0的两个根
∵m≠n＞0
∴m+n=a＞0
△=a²-4＞0，解得：a＞2
同理当m＜0＜n且|m|＜n即0＜-m＜n时a＞2
②当x＜0时，f_min（x）=f（n）=a-

1

|n|

=a+

1

n

=m，即a=m-

1

n

；
f_max（x）=f（m）=a-

1

|m|

=a+

1

m

=n，即a=n-

1

m

；
∴m-

1

n

=n-

1

m

∴（m-n）（1-

1

mn

）=0
∵m＜n＜0
∴m-n≠0
∴1-

1

mn

=0
∴m=

1

n

∴a=m-

1

n

=

1

n

-

1

n

=0．
同理当m＜0＜n且|m|＞n＞0，即m＜-n＜0时a=0
综上，实数a的取值范围是{0}∪{a|a＞2}．