Question

（2012?泰安一模）在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=23，E、F、G分别为PC、AC、PA的中

（2012?泰安一模）在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=23，E、F、G分别为PC、AC、PA的中点．（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

Answer 1

解：（I）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PB，
∵BC⊥AB，AB、PB是平面PAB内的相交直线，
∴BC⊥平面PAB
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC
又∵△PAB中，BA=BP，G为PA中点，
∴PA⊥BG
∵BC∩BG=B，BC、BG?平面BCG，
∴PA⊥平面BCG，
∵PA?平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上存在一点N，使PN⊥BE．
连接BE，取BE中点MS，连接PM并延长，交BC于S点，
在△ABC内过点S作SN∥AB，交AC于N点，则点N就是所求的点．
∵Rt△PBC中，PB=2，BC=2

3

，
∴tan∠BPC=

BC

PB

=

3

，可得∠BPC=60°
∵E是Rt△PBC斜边上的中线，
∴BE=AE=PB=2，△PBE是等边三角形
∵M是BE中点，∴PM⊥BE，即PS⊥BE，
由（I）可得：AB⊥PB，结合AB⊥BC，PB、BC是平面PBC内的相交直线
∴AB⊥平面PBC，
∵SN∥AB，∴SN⊥平面PBC，
∵BE?平面PBC，∴BE⊥SN，
又∵SN、PS是平面PNS内的相交直线，
∴BE⊥平面PSN
∵PN?平面PSN
∴PN⊥BE．