Question

已知函数f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1（a∈R）（1）若函数f（x）在（0，2）上无零点，研究函数y=|g（x）|

已知函数f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1（a∈R）（1）若函数f（x）在（0，2）上无零点，研究函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性；（2）设F（x）=f（x）-g（x），若对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）在（0，2）上无零点，
∴△≤0，或

△＞0 f(2)＜0

∴a≥0或a≤-12
当a≥0时，y=|g（x）|=2ax+1在（0，2）上递增；
当a≤-12，y=|g（x）|=|2ax+1|在(0，?

1

2a

)上递减，在(?

1

2a

，2)上递增．
（2）F（x）=3x²-2ax+a-1，x∈[0，1]
F（0）=a-1，F（1）=2-a，
∵对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1，∴

|F(0)|＜1 |F(1)|＜1

∴

|a?1|＜1 |2?a|＜1

∴1＜a＜2
∴x＝

a

3

∈(

1

3

，

2

3

)
∴F(x)min＝F(

a

3

)，F(x)max＝max{F(0)，F(1)}，
要使对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，只要最大值、最小值的绝对值都小于1即可，
∴

F( a 3 )＞?1 F(0)＜1 F(1)＜1

∴

0＜a＜3 a＜2 a＞1

∴1＜a＜2