Question

若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立

若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．在下列四个函数中，完美函数是（　　）A．f（x）=1xB．f（x）=|x|C．f（x）=2xD．f（x）=x2

Answer 1

在区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），分别验证下列4个函数．
对于A：f（x）=

1

x

，|f（x₂）-f（x₁）|=||

1

x1

?

1

x2

|＝|

x2?x1

x1x2

||＜|x₂-x₁|（∵x₁，x₂在区间（1，2）上，故x₁x₂大于1）．故成立．
对于B：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|（因为故x₁和x₂大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于C：f（x）=2x，|f（x₂）-f（x₁）|=2|x₂-x₁|＜|x₂-x₁|．不成立．
对于D：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|不成立．
故选：A．