Question

（2012?本溪）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE

（2012?本溪）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长．

Answer 1

解答：解：（1）如图，连接OB、OE．
在△ABO和△EBO中，
∵

AB＝BE(已知) BO＝BO(公共边) OA＝OE(圆的半径)

，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的对应角相等）；
又∵BE是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°，即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；

（2）∵AD=10，DC=8，
∴OC=13，OE=5，
∴在直角△OEC中，根据勾股定理知，EC=12．
设DF交OE于点G．
∵DF∥BC（已知），
∴∠OGD=∠OEC=90°（两直线平行，同位角相等），
∴OG⊥DF，
∴FD=2DG（垂径定理）；
∵DF∥BC，
∴

OD

OC

=

DG

EC

，即

5

13

=

DG

12

，
∴DG=

60

13

，
∴DF=

120

13

．