如图，抛物线y=ax2+2ax+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO=2，动直线l从与直线AC重合的位置出发
如图，抛物线y=ax2+2ax+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO=2，动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，...
如图，抛物线y=ax2+2ax+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO=2，动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．（1）求该抛物线的解析式；（2）①直接写出点P所经过的路径长； ②若点Q在直线AC上方的抛物线上，且四边形PDCQ是平行四边形，求点Q的坐标；（3）点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连结EF，求EF的最小值．
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（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4），OC=4
∵tan∠CBO=2，∴OB=2，B（2，0），
代入解析式解得：0=a×22+2a×2+4，
解得：a＝?
，
故抛物线解析式为：y＝?
x2?x+4；
（2）①∵CO=4，BO=2，
∴BC=2
，
∵直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点，
∴点P所经过的路径长，正好是△ABC的中位线长，
∴点P所经过的路径长为：
；
②如图1，∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴QH∥BC，
∵P是线段AD的中点，
∴H是线段AB的中点，
∵-
x2-x+4=0
解得：x1=2，x2=-4，
∴A（-4，0），
∴H（-1，0），
设BC的解析式为：y=kx+d，
则
，
解得：
，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+4，
设QH的解析式为y=-2x+b，
把H点的坐标代入得 b=-2，
故
解得x＝1±
∵点Q在直线AC上方的抛物线上，
∴
，
∴Q(1?
，2
?4)；
（3）如图2，∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，∵P是线段AD的中点，
∴PE＝PA＝
AD，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠EPD=2∠EAF，
同理PF＝
AD，∠DPF＝2∠PAF，
∴PE=PF，∠EPF=2∠EAF=90°
∴要使EF最小，只要使PE最小
要使PE最小，只要使AD最小，
即AD⊥BC时，AD最小，
则AD×2
=6×4，
解得：AD=
，
故PE＝
，
则FE最小==
∴C（0，4），OC=4
∵tan∠CBO=2，∴OB=2，B（2，0），
代入解析式解得：0=a×22+2a×2+4，
解得：a＝?
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故抛物线解析式为：y＝?
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（2）①∵CO=4，BO=2，
∴BC=2
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∵直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点，
∴点P所经过的路径长，正好是△ABC的中位线长，
∴点P所经过的路径长为：
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②如图1，∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴QH∥BC，
∵P是线段AD的中点，
∴H是线段AB的中点，
∵-
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解得：x1=2，x2=-4，
∴A（-4，0），
∴H（-1，0），
设BC的解析式为：y=kx+d，
则
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解得：
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∴直线BC的解析式为：y=-2x+4，
设QH的解析式为y=-2x+b，
把H点的坐标代入得 b=-2，
故
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解得x＝1±
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∵点Q在直线AC上方的抛物线上，
∴
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∴Q(1?
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（3）如图2，∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，∵P是线段AD的中点，
∴PE＝PA＝
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∴∠PAE=∠PEA，
∴∠EPD=2∠EAF，
同理PF＝
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∴PE=PF，∠EPF=2∠EAF=90°
∴要使EF最小，只要使PE最小
要使PE最小，只要使AD最小，
即AD⊥BC时，AD最小，
则AD×2
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解得：AD=
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故PE＝
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则FE最小==
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