Question

一道高三数学题，求解析！在线等！

15．（关于函数f（x）=|2sinx+m|（m为常数且m∈R），有下列结论：
①m=0是函数f（x）周期为π的充要条件；
②m＞0是函数f（x）周期为2π的充分不必要条件；
③存在唯一的一组常数m、k，使得函数g（x）=f（x）﹣k（x＞0）的零点从小到大排列成公差为2π的等差数列；
④存在常数m、k，使得函数g（x）=f（x）﹣k（x＞0）的零点从小到大排列成公差为的等差数列；
⑤存在常数m、k，使得函数g（x）=f（x）（x＞0）的零点从小到大排列成公差为的等差数列；
其中正确结论的序号为　_________（把你认为正确结论的序号都填上）
答案：①②④。求解析，往大神解答！

Answer 1

解：可用图形法直观解答；

        g(x) = f(x) - k的零点就是 f(x) = k的解，即f(x)=|2sinx+m| 与直线 y=k的交点；

 

首先 看m=0的情况，如图

 

f(x)=|2sinx+m| 的图形为左右相同的两个半波，显然周期为π，条件m=0充分性成立；

 

再看m>0时的情况，如图

 

f(x)=|2sinx+m| 的图形为左高右低的两个半波，显然周期为2π；

m<0时与此相似，只是两个半波为左低右高；

当m>=2或m<=-2时，出现的是完整的正弦波形；

 

显然只有m=0，才会出现左右相同的两个半波，周期为π；其余情况周期为2π

因此

(1) 正确；(2)正确

 

(3)(4)(5)需要考察 y=f(x) 与 y=k的交点情况

根据上下两图中右侧图形的相交情况，交点可能形成等差数列的情况有：

a.  一个周期内两个切点，两个切点可以均匀分布在各个周期，可以形成等差数列

b.  一个周期内4各交点，4个交点可以均匀分布在各个周期，可以形成等差数列

c.  一个周期内2个交点一个切点，3个点可以均匀分布在各个周期，可以形成等差数列。

这三种情况，m与k值都是唯一的；且交点坐标公差都不大于π；

 

d. 当|m|>=2时，存在f(x)是完整的正弦波形存在一种情况 k=|m|+2，每个周期y=k与y=f(x)曲线有一个切点，切点之间的公差为2π；

但是满足该条件的m，k不唯一，有无数(m,k)数对,只要 满足 k=|m|+2即可使交点公差为2π，如图

 f.  k=|m|, 每个周期2个交点，可在各周期均匀分布，坐标公差为π。

 

因第五题不完整，根据上述分析可自行判断正误。

Answer 2

（1）m=0 时周期为 π 知道吧？？
反之，f(x+π) = |2sin(x+π)+m| = |-2sinx+m| = |2sinx+m| 要对所有实数 x 成立，
把 x = π/2 代入得 |m-2|=|m+2| ，解得 m = 0 。所以 （1）正确。
（2）m > 0 时函数周期为 2π ，因此是充分条件；
反之，当函数周期为 2π 时，m 还可以是负数。因此是充分不必要条件。正确
（3）有无数组。如 m 取大于 2 的正整数，k = m-2 ，
那么 g(x)=f(x)-k = |2sinx+m|-(m-2)=2(sinx+1) ，它的零点为 3π/2+2kπ 。错误
（4）（公差是 π 吧？）有无数组。如 m 取大于 2 的正整数，k = m ，
那么 g(x)=f(x)-k = 2sinx ，它的零点为 kπ 。正确
（5）（公差是 π/2 吧？）。不存在。这是由于正弦型曲线与 x 轴的交点要想等距，必然是过最高点或最低点或正中间。

所以，正确的是（1）（2）（4）