Question

已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E

已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

Answer 1

证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= ×180°=90°， 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）例如，当AD= BC时，四边形ADCE是正方形， 证明：∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴DC= BC， 又AD= BC，∴DC=AD， 由（1）知四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形。