Question

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象在x=3处的

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。（1）求f（x）的解析式； （2）是否存在区间[m，n]，使得函数f（x）的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为f（x）的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由。

Answer 1

解：（1） 的图象关于原点对称， ∴ 恒成立， 即 ，∴b=d=0， 又 得图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0即 ， ∴ ，且 ， 而 ，∴ ， ∴ ，解得： ， 故所求函数的解析式为 。 （2）解 。得x=0或 ， 又 ， 令 =0，得x=±1， 且当 或 时， ； 当x∈（-1，1）时， <0， ∴ 在 和 上递增，在[-1，1]上递减， ∴ 在 上的极大值和极小值分别为 ， 而 ， 故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为 。