Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在PD，PC上， ，PM=MD，（Ⅰ

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在PD，PC上， ，PM=MD，（Ⅰ）求证：PC⊥面AMN； （Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值。

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Answer 1

解：（Ⅰ）PC⊥AM，四棱锥P-ABCD的底面是正方形， PA⊥面ABCD， 故可以建立如图所示的空间直角坐标系， 又∵PA=AD=2， ∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），  ∴M（0，1，1），C（2，2，0）， ∴ ，        ∵ ， ∴ ， 设 ， ∵ 求得 ，   ∵ ， ∴AN⊥PC，   又PC⊥AM且AM∩AN=A，   ∴PC⊥面AMN。   （Ⅱ）设平面BAN 的法向量为 ，  ∵ ， ∴ ，   ∵ 是平面AMN的法向量， ∴ ， ∴二面角B-AN-M的余弦值 。