Question

如果存在正实数a，使得f（x-a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”．则下列函

如果存在正实数a，使得f（x-a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”．则下列函数是“和谐函数”有______．（把所有正确的序号都填上）①f（x）=（x-1）2+5②f（x）=cos2（x-π4）③f（x）=sinxcosx④f（x）=ln|x+1|．

Answer 1

①由f（x）=（x-1）²+5，∴f（x+1）=x²+5是偶函数，∵f（0）=6≠0，∴无论正数a取什么值，f（x-a）都不是奇函数，函数f（x）不可能是“和谐函数”；
②∵f（x）=cos（2x-

π

2

）=sin2x，
∴当a=kπ±

π

4

时，f（x±a）=sin(2x±(2kπ±

π

2

))=±cos2x为偶函数；
当a=kπ±

π

2

时，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx为奇函数．
因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移

π

4

的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．
③∵f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，同②；
④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．
综上可知：①②③④都不是“和谐函数”．
故答案为0个．