Question

（2013?资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点

（2013?资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

Answer 1

（1）∵点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∴点C的坐标为（5，4），
∵过点A、C、D作抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

4a?2b+c＝0 25a+5b+c＝4 c＝4

，
解得

a＝? 2 7 b＝ 10 7 c＝4

．
故抛物线的解析式为y=-

2

7

x²+

10

7

x+4．

（2）连结BD交对称轴于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，
易证GH=HN，
∴点G与点M重合，
故直线BD的解析式y=-

4

3

x+4    
根据抛物线可知对称轴方程为x=

5

2

，
则点M的坐标为（

5

2

，

2

3

），即GF=

2

3

，BF=

1

2

，
∴BM=

FM2+FB2

=

5

6

，
又∵MN被BC垂直平分，
∴BM=BN=

5

6

，
∴点N的坐标为（

23

6

，0）；

（3）过点M作直线交x轴于点P₁，连结CE．
易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，
由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P₁M必与线段CD相交，
设交点为Q₁，四边形AP₁Q₁D的面积为S₁，四边形P₁ECQ₁的面积为S₂，点P₁的坐标为（a，0），
假设点P在对称轴的左侧，则P₁F=

5

2

-a，P₁E=7-a，
由△MKQ₁∽△MFP₁，得

MK

Q1K

=

FM

FP1

，
易求Q₁K=5P₁F=5（

5

2

-a），
∴CQ₁=

5

2

-5（

5

2

-a）=5a-10，
∴S₂=

1

2

（5a-10+7-a）×4=28×

3

7

，
解得：a=

9

4

，
根据P₁（

9

4

，0），M（

5

2

，

2

3

）可求直线P₁M的解析式为y=

8

3

x-6，
若点P在对称轴的右侧，则直线P₂M的解析式为y=-

8

3

x+

22

3

．