Question

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．（1）求证：P

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．（1）求证：PF⊥l；（2）若|PF|=3，且双曲线的离心率e=54，求该双曲线方程；（3）延长FP交双曲线左准线l1和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率．

Answer 1

解答：（1）证明：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右准线l₂为x=

a2

c

，
由对称性不妨设渐近线l为y=

b

a

x，
则P（

a2

c

，

ab

c

），又F（c，0），
∴kPF＝

ab c ?0

a2 c ?c

＝?

a

b

，（2分）
又∵kl＝

b

a

，∴k_PF?k_l=-

a

b

?

b

a

=-1，
∴PF⊥l．（4分）
（2）解：∵|PF|的长即F（c，0）到l：bx-ay=0的距离，
∴

|bc|

a2+b2

=3，即b=3，（6分）
又e＝

c

a

＝

5

4

，
∴

a2+b2

a2

＝

25

16

，∴a=4，
故双曲线方程为

x2

16

?

y2

9

=1．（8分）
（3）解：PF的方程为：y=-

a

b

（x-c），
由

y＝? a b (x?c) x＝? a2 c

，得M(?

a2

c

，

a(a2+c2)

bc

)，（9分）
∵M是PN的中点
∴N(?

3a2

c

，

a(3a2+c2)

bc

)，（10分）
∵N在双曲线上，
∴

9a2

c2

?

a2

c2

(

3a2+c2

b2

)2＝1，
即

9

e2

?

1

e2

(

e2+3

e2?1

)2＝1，
令t=e²，则t²-10t+25=0，∴t=5，即e=

5

．（12分）