Question

设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且∫10f（x）dx=0，记F（x）=∫x0xf（t）dt．（1）求F′（x

设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且∫10f（x）dx=0，记F（x）=∫x0xf（t）dt．（1）求F′（x）；（2）试在（0，1）内找一点ξ，使∫ξ0f（x）dx=-ξf（ξ）；（3）试在（0，1）内找一点x0，使得2f（x0）+x0f′（x0）=0．

Answer 1

解答：解（1）对变限积分求导，F′(x)＝

∫

x 0

f(t)dt+xf(x)．
（2）F（0）=0，F(1)＝

∫

1 0

f(x)dx＝0，又因为F（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
由罗尔定理可得，存在一点ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，即

∫

ξ 0

f(x)dx＝?ξf(ξ)
（3）因为F'（0）=0，F'（ξ）=0，ξ∈（0，1）及F（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
由罗尔定理，存在一点x₀∈（0，ξ）使得F''（x₀）=0，即2f（x₀）+x₀f'（x₀）=0．