Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(Ⅰ

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(Ⅰ)证明：BN⊥平面C 1 B 1 N；(Ⅱ)设直线C 1 N与平面CNB 1 所成的角为 ，求sin 的值；(Ⅲ)M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB 1 ，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.

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Answer 1

(Ⅱ)   (Ⅲ)当BP=1时MP∥平面CNB 1

(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB 1 两两垂直. 以BA,BC,BB 1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系, 则N(4,4,0),B 1 (0,8,0),C 1 (0,8,4),C(0,0,4) ∵ =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0 =(4,4,0)·(0,0,4)="0            " ∴BN⊥NB 1 , BN⊥B 1 C 1 且NB 1 与B 1 C 1 相交于B 1 , ∴BN⊥平面C 1 B 1 N;                                           ……4分 (Ⅱ)设 =( x , y , z )为平面NCB 1 的一个法向量, 则 ，取 =(1,1,2),    则cos θ = ;                           ……9分 (Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0, a )为BC上一点,则 =(-2,0, a )，∵MP∥平面CNB 1 , ∴ ⊥ · =(-2,0, a ) ·(1,1,2)=-2+2 a =0  a =1.               又MP 平面CNB 1 ,∴MP∥平面CNB 1 ,∴当BP=1时MP∥平面CNB 1 . …14分