Question

设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数

设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式．（2）求数列{an-n}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）证明：∵S_n=2a_n-3n，
∴a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-3，
∴a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
又a₁+3=6，b_n=a_n+3，
∴数列{b_n}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴a_n+3=6?2^n-1=3?2ⁿ，
∴a_n=3?2ⁿ-3．
（2）解：∵a_n-n=3?2ⁿ-3-n，
∴S_n=3×

2(1?2n)

1?2

-3n-

n(n+1)

2

=6?2ⁿ-

1

2

n2-

7

2

n-6．