Question

已知f（x）是定义在R上的可导函数，若函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则下面四个结论

已知f（x）是定义在R上的可导函数，若函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则下面四个结论中，所有正确结论的序号是（　　）①f（1）+f（-1）＞0；　　②f（x）≥0对x∈R成立；③f（x）可能是奇函数；　④f（x）一定没有极值点．A．①②B．①③C．①②③D．②③④

Answer 1

由于函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则可知F（x）=xf（x）为R上的增函数，
则①f（1）＞-f（-1）即f（1）+f（-1）＞0；故①正确；
②由于F（x）=xf（x），F′（x）＞0，
则当x＜0时，F（x）=xf（x）＜F（0）=0成立，故f（x）＞0；
当x＞0时，F（x）=xf（x）＞F（0）=0成立，故f（x）＞0；故②正确；
③若f（x）是奇函数，则函数F（x）=xf（x）为偶函数，
不满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，；故③不正确；
④当f（x）=x²，F（x）=x³时，满足题设的条件，
而此时f（x）在x=0处存在极小值点，故④正确．
故答案为 A