已知函数f(x)＝ln(1+x)+ax，a∈R是常数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求a＝?12时，f（x）零点的个数；
已知函数f(x)＝ln(1+x)+ax，a∈R是常数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求a＝?12时，f（x）零点的个数；③求证：(1+122)(1+124)?…?(1...
已知函数f(x)＝ln(1+x)+ax，a∈R是常数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求a＝?12时，f（x）零点的个数；③求证：(1+122)(1+124)?…?(1+122n)＜e（n∈N*，e为自然对数的底数）．
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（1）f′(x)＝
+
＝
，
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，x1＝
，x2＝
，
直接讨论f′（x）知，f（x）在[0，
)
和(
，+∞)单调递减，
在[
，
]单调递增．
（2）观察得f（0）=0，a＝?
时，
由①得f（x）在[0，7?4
)单调递减，
所以f（x）在[0，7?4
)上有且只有一个零点；
f(x1)＝f(7?4
)＜f(0)＝0，
计算得f(x2)＝f(7+4
)＝ln(8+4
)?
(2+
)＞lne2?2＝0，
f（x1）f（x2）＜0且f（x）在区间[7?4
，7+4
]单调递增，
所以f（x）在[7?4
| 1 |
| 1+x |
| a | ||
2
|
ax+2
| ||
2
|
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，x1＝
2?a2?2
| ||
| a2 |
2?a2+2
| ||
| a2 |
直接讨论f′（x）知，f（x）在[0，
2?a2?2
| ||
| a2 |
和(
2?a2+2
| ||
| a2 |
在[
2?a2?2
| ||
| a2 |
2?a2+2
| ||
| a2 |
（2）观察得f（0）=0，a＝?
| 1 |
| 2 |
由①得f（x）在[0，7?4
| 3 |
所以f（x）在[0，7?4
| 3 |
f(x1)＝f(7?4
| 3 |
计算得f(x2)＝f(7+4
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
f（x1）f（x2）＜0且f（x）在区间[7?4
| 3 |
| 3 |
所以f（x）在[7?4
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