Question

设f(x)在[0,1]上有连续一阶导数，在（0,1）内二阶可导。

Answer 1

limx趋于0 f(x) /x=0
那么一定有f(0)=0，
所以由导数的定义得到
f '(0)=limx趋于0 [f(x)-f(0)] /(x-0) =0

而f(0)=f(1)=0
由罗尔定理就可以知道，在区间(0,1)上存在s使得f '(s)=0
那么f '(0)=f '(s)=0
再由罗尔定理得到，
在区间(0,s)存在ξ，使得f "(ξ)=0
而显然(0,s)∈(0,1)
于是命题就得到了证明，
在(0,1)至少存在一点ξ，使得f "(ξ)=0