如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB...
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．
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解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=
| PA |
| PB |
| BF |
| PB |
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．
所以四边形BCDG是平行四边形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG=
| AB2+AG2 |
| 5 |
| AB2 |
| BG |
| 16 | ||
2
|
8
| ||
| 5 |
于是PA=BF=
8
| ||
| 5 |
又梯形ABCD的面积为S=
| 1 |
| 2 |
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=
| 1 |
| 3 |
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