Question

已知数列{an}中，前n项和为Sn，a1=5，并且Sn+1=Sn+2an+2n+2（n∈N*），（1）求a2，a3的值；（2）设bn=an+

已知数列{an}中，前n项和为Sn，a1=5，并且Sn+1=Sn+2an+2n+2（n∈N*），（1）求a2，a3的值；（2）设bn=an+λ2n，若实数λ使得数列{bn}为等差数列，求λ的值；（3）不等式an＜(t?n+12n?5)?3n对任何的n∈N*恒成立，求t的范围．

Answer 1

（1）∵S_n+1=S_n+2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
即a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
又∵S_n=2a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴a₂=2a₁+2³=10+8=18，
a₃=2a₂+2⁴=36+16=52
（2）∵b_n=

an+λ

2n

，
∴b₁=

a1+λ

2

=

5+λ

2

，
b₂=

a2+λ

22

=

18+λ

4

，
b₃=

a3+λ

23

=

52+λ

8

，
∵数列{b_n}为等差数列
∴2b₂=b₁+b₃=2×

18+λ

4

=

5+λ

2

+

52+λ

8

解得λ=0
（3）由（2）得b_n=

an

2n

，
∴b₁=

5

2

，
b₂=

9

2

∴d=b₂-b₁=2，
即数列{b_n}是公差d=2，首项为b₁=

5

2

的等差数列
∴b_n=

an

2n

=

5

2

+2（n-1）=

4n+1

2

∴a_n=2^n-1?（4n+1）
若an＜(t?

n+1

2n?5

)?3n对任何的n∈N^*恒