Question

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线 的焦点,离心率是 （I）求椭圆E的方程；（II）过点C（﹣1，0），斜

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线 的焦点,离心率是 （I）求椭圆E的方程；（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使 恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=  ，c=e·a=  ×  =  ， 故b=  =  =  ， 所以，椭圆E的方程为  +  =1，即x 2 +3y 2 =5． （II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1）， 代入方程E：x 2 +3y 2 =5，得（3k 2 +1）x 2 +6k 2 x+3k 2 ﹣5=0； 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），M（m，0）， 则 x 1 +x 2 =﹣  ，x 1 x 2 =  ； ∴  ·  =（k 2 +1）x 1 x 2 +（k 2 ﹣m）（x 1 +x 2 ）+k 2 +m 2 =m 2 +2m﹣  ﹣  ， 要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣  ； 所以，存在点M（﹣  ，0）满足题意．