Question

已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A重合），延长BD到E．（1）求证：AD的延长线平

已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A重合），延长BD到E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+3．求△ABC的外接圆的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．

（2）设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=

1

2

∠BAC=

1

2

×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC?cos30°=

3

2

r，
∵△ABC中BC边上的高为2+

3

，
∴AH=OA+OH=r+

3

2

r=2+

3

，
解得：r=2，
∴△ABC的外接圆的面积为：4π．