Question

将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：（1）正三角形各边上

将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：（1）正三角形各边上的数之和相等；（2）正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等．问：有多少种不同的填入方法？（注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法）

Answer 1

假设三角形三个顶点的数字为a、b、c，正三角形各边上的数之和相等为m，根据题意得：
3m=a+b+c+（1+2+3+…+9），
得m=（a+b+c）÷3+15，
①a、b、c为1、4、7，m=19，1+6+8+4=4+3+5+7=7+9+2+1=19，（1²+6²+8²+4²）÷3=39，（4²+3²+5²+7²）÷3=33，（7²+9²+2²+1²）÷3=45，符合题意．或者1+5+9+4=4+2+6+7=7+8+3+1，（1²+5²+9²+4²）÷3=41，（4²+2²+6²+7²）÷3=35，（7²+8²+3²+1²）÷3=41，符合题意．
②a、b、c为2、5、8，m=20，2+9+1+8=8+3+4+5=5+6+7+2=20，（2²+9²+1²+8²）÷3=50，（8²+3²+4²+5²）÷3=38，（5²+6²+7²+2²）÷3=38，符合题意．或者2+7+3+8=5+1+6+8=5+9+4+2=20，（2²+7²+3²+8²）÷3=42，（8²+1²+6²+5²）÷3=42，（5²+9²+4²+2²）÷3=42，符合题意．
③a、b、c为3、6、9，m=21，3+5+7+6=6+2+4+9=9+8+1+3=21，（3²+5²+7²+6²）÷3=39…2，（6²+2²+4²+9²）÷3=45…2，（9²+8²+1²+3²）÷3=51…2，符合题意．或者3+4+8+6=6+1+5+9=9+7+2+3，
（3²+4²+8²+6²）÷3=41…2，（6²+1²+5²+9²）÷3=47…2，（9²+7²+2²+3²）÷3=47…2，符合题意．
如图所示，


答：有6种不同的填入方法．