Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若?x∈R， f(x)≥ t 2 - 11 2

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若?x∈R， f(x)≥ t 2 - 11 2 t 恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1） f(x)= -x-3，x＜- 1 2 3x-1，- 1 2 ≤x＜2 x+3，x≥2 当 x＜- 1 2 ，-x-3＞2，x＜-5 ，∴x＜-5 当 - 1 2 ≤x＜2，3x-1＞2，x＞1 ，∴1＜x＜2 当x≥2，x+3＞2，x＞-1，∴x≥2 综上所述 {x|x＞1或x＜-5}．----------------------（5分） （2）由（1）得 f(x ) min =- 5 2 ，若?x∈R， f(x)≥ t 2 - 11 2 t 恒成立， 则只需 f(x ) min =- 5 2 ≥ t 2 - 11 2 t?2 t 2 -11t+5≤0? 1 2 ≤t≤5 ， 综上所述 1 2 ≤t≤5 ．------------------------------（10分）