Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin 2 x+msin（x+ π 4 ）sin（x- π 4 ）．（1）当m=0

已知函数f（x）=（1+cotx）sin 2 x+msin（x+ π 4 ）sin（x- π 4 ）．（1）当m=0时，求f（x）在区间 [ π 8 ， 3π 4 ] 上的取值范围；（2）当tana=2时， f(a)= 3 5 ，求m的值．

Answer 1

（1）当m=0时， f(x)=(1+ cosx sinx )si n 2 x=si n 2 x+sinxcosx= 1-cos2x+sin2x 2 = 1 2 [ 2 sin(2x- π 4 )+1] ， 由已知 x∈[ π 8 ， 3π 4 ] ，得 2x- π 4 ∈[- 2 2 ，1] ，从而得：f（x）的值域为 [0， 1+ 2 2 ] ． （2）因为 f(x)=(1+ cosx sinx )si n 2 x+msin(x+ π 4 )sin(x- π 4 ) =sin 2 x+sinxcosx+ m(cos π 2 -cos2x) 2 = 1-cos2x 2 + sin2x 2 - mcos2x 2 = 1 2 [sin2x-(1+m)cos2x]+ 1 2 所以 f(α)= 1 2 [sin2α-(1+m)cos2α]+ 1 2 = 3 5 ① 当tanα=2，得： sin2a= 2sinacosa sin 2 a+ cos 2 a = 2tana 1+ tan 2 a = 4 5 ， cos2a=- 3 5 ， 代入①式，解得m=-2．