Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）

（1）当m=0时，求f（x）在区间[ π/8 , 3π/4 ]上的取值范围
（2）当tanα=2时，f（α）=3/5，求m的值

Answer 1

(1) m=0时
f(x)=sin^2x+sinxcosx
=(1/2)[1-cos2x+sin2x]
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
当2x-π/4=π/2 x=3π/8是f(x)max=(√2+1)/2
而f(π/8)=(√2/2)*0+1/2=1/2 f(3π/4)=(√2/2)sin(5π/4)+1/2=1/2-1/2=0
∴f（x）在区间[ π/8 , 3π/4 ]上的取值范围是[0, (√2+1)/2]
(2) 当tanα=2时， cotα=1/2 sin^2α=1/(1+cot^2α)=4/5 cos^2α=3/5
此时f(α)=3/5
∴3/5=(1+1/2)*(4/5)+m*(1/2)(sin^2α-cos^2α)=6/5+m*(1/2)(4/5-3/5)
∴m/10=3/5-6/5
∴m=-6

追问

(1/2)[1-cos2x+sin2x]
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
请赐教(*^__^*)

追答

(1/2)[1-cos2x+sin2x]
=(1/2)(sin2x-cos2x)+1/2
=(√2/2)[(√2/2)sin2x-(√2/2)cos2x]+1/2
==(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2

Answer 2

（1）当m=0时，
f（x）=（1+cotx）sin²x=sin²x+cosxsinx=（1-cos2x）/2+sin2x/2=（1-cos2x+sin2x)/2
=[1+√2sin(2x-π/4)]/2
f（x）在区间[ π/8 , 3π/4 ]上
x=3π/4时，f（x）有最小值0
当x=3π/8时，f（x）有最大值（1+√2）/2
取值范围是［0,（1+√2）/2
]（2）当tanα=2时，f（α）=3/5
则cotα=1/2
sin²α=1-cos²α=1-1/sec²α=1-1/(1+tan²α)=4/5
sin（α+π/4）× sin（α-π/4）=(cos90-cos2α)/2=(-cos2α)/2=(2sin²α-1)/2=3/10
所以
3/5＝（1＋1/2）4/5+m*3/10
m=-2