Question

已知函数 f(x)= a x + x-2 x+1 （a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根

已知函数 f(x)= a x + x-2 x+1 （a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

假设x 0 是方程f（x）=0的负数根，且x 0 ≠-1，则 a x 0 + x 0 -2 x 0 +1 =0 ， 即 a x 0 = 2- x 0 x 0 +1 = 3-( x 0 +1) x 0 +1 = 3 x 0 +1 -1 ，① 当-1＜x 0 ＜0时，0＜x 0 +1＜1，∴ 3 x 0 +1 ＞3 ， ∴ 3 x 0 +1 -1＞2 ，而由a＞1知 a x 0 ＜1 ．∴①式不成立； 当x 0 ＜-1时，x 0 +1＜0，∴ 3 x 0 +1 ＜0 ，∴ 3 x 0 +1 -1＜-1 ，而 a x 0 ＞0 ． ∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．