Question

已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．求证：AM=

已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．求证：AM=DF+ME．

Answer 1

解答：证明：如图，延长AB交DF的延长线于G，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠2=∠G，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=

1

2

BC，
∵在△BFG和△CDF中，

∠2＝∠G ∠BFG＝∠CFD BF＝CF

，
∴△BFG≌△CDF（AAS），
∴GF=DF，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，∠2=∠3，
∴MC=MD，MA=MG，
又∵ME⊥CD，
∴CE=

1

2

CD，
∵菱形的边BC=CD，
∴CE=CF，
又∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠3=∠4，
∵在△CEM和△CFM中，

CE＝CF ∠3＝∠4 CM＝CM

，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
∴AM=MG=GF+MF=DF+ME，
即AM=DF+ME．