Question

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为 ，且 ，连接AD、BD．（1）如图1，

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为 ，且 ，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°， 时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°， 时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（ ），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出 的大小．

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Answer 1

（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.

试题分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小. （2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次证明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案． （3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，求得答案． 试题解析：（1）30°；（2）30°； （2）如图作等边△AFC，连结DF、BF． ∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°． ∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°． ∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°． ∴∠DCB=∠FCB=20°．① ∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．② ∵BC=BC，③ ∴由①②③，得△DCB≌△FCB， ∴DB=BF，∠DBC=∠FBC． ∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°． ∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°． ∴∠BAD=∠FAD=20°．④ ∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤ ∵AD=AD，⑥ ∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°． （3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．