Question

将线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，连接BC得△ABC，又将线段BC绕点B逆时针旋转

将线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，连接BC得△ABC，又将线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD（如图①）．（1）求∠ABD的大小（结果用含α的式子表示）；（2）又将线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，连接CE（如图②）求∠BCE；（3）连接DC、DE，试探究当α为何值时，∠DEC=45°．

Answer 1

（1）∵线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=90°-

1

2

α-60°=30°-

1

2

α（0°＜α＜60°）；
（2）∵线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴AC=AE，∠CAE=60°-α，
∴∠ACE=∠AEC=

1

2

（180°-60°+α）=60°+

1

2

α，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°-

1

2

α+60°+

1

2

α=150°；
（3）如图②，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60°，CD=BC，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∴CB=CE，
在△ABC和△AEC中

AB＝AE AC＝AC CB＝CE

，
∴△ABC≌△AEC（SSS），
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠BAC=

1

2

∠BAE=30°，
即α=30°，
当α为30°时，∠DEC=45°．