Question

已知等差数列{an}的首项为2，公差为1，符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn=[log3（an-1）]，Sn为数

已知等差数列{an}的首项为2，公差为1，符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn=[log3（an-1）]，Sn为数列{bn}的前n项和．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求S3n．

Answer 1

（Ⅰ）因为等差数列{a_n}的首项为2，公差为1，
所以a_n=2+（n-1）×1=n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=[log₃（a_n-1）]=[log₃n]，
当3^k≤n＜3^k+1时，[log₃n]=k，k∈N，
所以S3n=[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]]+…+[[log₃8]+]+[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃3ⁿ]
=0+0+1×6+2×18+3×54+…+（n-1）×2?3^n-1+n
=0+0+1×2×3+2×2×3²+3×2×3³+…+（n-1）×2?3^n-1+n，
设s=1×2×3+2×2×3²+3×2×3³+…+（n-1）×2?3^n-1，①
3s=1×2×3²+2×2×3³+3×2×3⁴+…+（n-1）×2?3ⁿ，②
①-②得，-2s=6+2（3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（n-1）×2?3ⁿ
=6+2×

9(1?3n?2)

1?3

-（n-1）×2?3ⁿ=-3+（-2n+3）?3ⁿ
则s=

1

2

[3+(2n?3)?3n]，
所以S3n=

1

2

[3+(2n?3)?3n]+n．