Question

高二数学圆锥曲线问题

S□Β₁Α₁Β₂Α₂=2S□Β₁F₁Β₂F₂。求椭圆方程。设n为过原点的直线，L是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，lOPl=1，是否存在上述直线L使向量OP*向量OB=0？若存在，求出之嫌L的方程，若不存在，请说明理由。
椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的顶点A₁，A₂，B₁，Β₂，焦点为F₁，F₂，lABl=√7。

Answer 1

由S□Β₁Α₁Β₂Α₂=2S□Β₁F₁Β₂F₂得A1A2=2F1F2，2a=4c,a=2c,b^2=3c^2,
所以椭圆方程是x^2/(4c^2)+y^2/(3c^2)=1.①
lOPl=1，设P(cosu,sinu),
直线L与OP垂直相交于P点，
设L:y-sinu=(-cosu/sinu)(x-cosu),即y=(1-xcosu)/sinu,②
代入①*12c^2，得3x^2+4(1-2xcosu+x^2cos^u)/(sinu)^2=12c^2,
(3sin^u+4cos^u)x^2-8xcosu+4-12c^2(sinu)^2=0,
(3+cos^u)x^2-8xcosu+4+12c^2cos^u-12c^2=0,③
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8cosu/(3+cos^u),x1x2=(4+12c^2cos^u-12c^2)/(3+cos^u),
由②，y1y2=(1-x1cosu)(1-x2cosu)/(sinu)^2=[1-(x1+x2)cosu+x1x2cos^u]/(sinu)^2,
由OA*OB=0(改题了)得
x1x2+y1y2
=[1-(x1+x2)cosu+x1x2]/(sinu)^2
=[1+(4-8cos^u+12c^2cos^u-12c^2)/(3+cos^u)]/(sinu)^2=0,
所以3+cos^u+4-8cos^u+12c^2cos^u-12c^2=0,
(12c^2-7)cos^u=12c^2-7,
cos^u=1,cosu=土1，
代入③，4x^2干8x+4=0,x=土1,
这时|AB|=0，与|AB|=√7矛盾。
所以不存在满足题设的直线L.