Question

如图，已知CD为⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，B为⊙O上一点，且∠ABC=∠D．（1）求证：AB为⊙O的切线

如图，已知CD为⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，B为⊙O上一点，且∠ABC=∠D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若tanD= 1 2 ，求sinA的值．

Answer 1

（1）证明：连结OB，如图， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90° ∵OB=OD， ∴∠D=∠OBD， ∵∠ABC=∠D， ∴∠ABC=∠OBD， ∴∠OBA=90°， ∴OB⊥AB， ∴AB为⊙O的切线； （2）设BC=x， 在Rt△BCD中，tanD= BC BD = 1 2 ， ∴BD=2x， ∴CD= B D 2 +B C 2 = 5 x， ∴OB=OC= 5 2 x， ∵∠ABC=∠D，∠BAC=∠DAB， ∴△ABC ∽ △ADB， ∴ AC AB = BC BD = 1 2 ， ∴AB=2AC， 在Rt△OAB中，∵OB 2 +AB 2 =AO 2 ， ∴（ 5 2 x） 2 +（2AC） 2 =（ 5 2 x+AC） 2 ， ∴AC= 5 3 x， ∴OA= 5 2 x+ 5 3 x= 5 5 6 x， ∴sinA= OB OA = 5 x 2 5 5 x 6 = 3 5 ．