Question

如图，已知抛物线的方程C 1 ：y=- 1 m （x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交

如图，已知抛物线的方程C 1 ：y=- 1 m （x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C 1 过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1 上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得： 2=- 1 m （2+2）（2-m），解得m=4． （2）令y=0，即 - 1 4 （x+2）（x-4）=0，解得x 1 =-2，x 2 =4， ∴B（-2，0），C（4，0） 在C 1 中，令x=0，得y=2， ∴E（0，2）． ∴S △BCE = 1 2 BC?OE=6． （3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称． 如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）． 设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y= - 1 2 x+2， 当x=1时，y= 3 2 ，∴H（1， 3 2 ）． （4） 分两种情形讨论： ①当△BEC ∽ △BCF时，如解答图2所示． 则 BE BC = BC BF ， ∴BC 2 =BE?BF． 由函数解析式可得：B（-2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°， ∴∠CBF=45°， 作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°， ∴BT=TF． ∴可令F（x，-x-2）（x＞0），又点F在抛物线上， ∴-x-2=- 1 m （x+2）（x-m）， ∵x+2＞0， ∵x＞0， ∴x=2m，F（2m，-2m-2）． 此时BF= (2m+2) 2 + (-2m-2) 2 =2 2 （m+1），BE= 2 2 ，BC=m+2， 又∵BC 2 =BE?BF， ∴（m+2） 2 = 2 2 ? 2 2 （m+1）， ∴m=2± 2 2 ， ∵m＞0， ∴m= 2 2 +2． ②当△BEC ∽ △FCB时，如解答图3所示． 则 BC BF = EC BC ， ∴BC 2 =EC?BF． ∵△BEC ∽ △FCB ∴∠CBF=∠ECO， ∵∠EOC=∠FTB=90°， ∴△BTF ∽ △COE， ∴ TF BT = OE OC = 2 m ， ∴可令F（x， - 2 m （x+2））（x＞0） 又∵点F在抛物线上， ∴ - 2 m （x+2）=- 1 m （x+2）（x-m）， ∵x＞0， ∴x+2＞0， ∴x=m+2， ∴F（m+2， - 2 m （m+4）），EC= m 2 +4 ，BC=m+2， 又BC 2 =EC?BF， ∴（m+2） 2 = m 2 +4 ? (m+2+2) 2 + 4 (m+4) 2 m 2 整理得：0=16，显然不成立． 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m= 2 2 +2．