Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，则不等式x2?f（x

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，则不等式x2?f（x）＞0的解集是（　　）A．（-2，0）∪（2，+∞）B．（-∞，-2）∪（2，+∞）C．（-2，0）∪（0，2）D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

解：g（x）=

f(x)

x

，
则g′（x）=

xf′(x)?f(x)

x2

，
∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，
∴g（-x）=

f(?x)

?x

=

?f(x)

?x

=g（x），
∴g（x）为偶函数，且g（2）=0，
∴当0＜x＜2时，g（x）＞0，于是此时f（x）＞0；
同理可得，当x＜-2时，g（x）＜0，于是此时f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}
∴不等式x²?f（x）＞0的解集就是f（x）＞0的解集，为{x|x＜-2或0＜x＜2}．
故选D．