Question

设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当x∈R时，ex≥x+1

设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当x∈R时，ex≥x+1．

Answer 1

（1）解：的导数f′（x）=e^x-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：由（1）知当x=0时，f（x）取得最小值1，
∴e^x-x≥1，
∴当x∈R时，e^x≥x+1．