Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（-3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=-x²+bx+c中

0＝?9?3b+c 3＝c

，
∴

b＝?2 c＝3

∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，-m²-2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=-m²-2m+3-m-3=-m²-3m，
△PFG周长为：-m²-3m+

2

（-m²-3m），
=-（

2

+1）（m+

3

2

）²+

9( 2 +1)

4

，
∴△PFG周长的最大值为：

9( 2 +1)

4

．

（3）点M有三个位置，如图所示的M₁、M₂、M₃，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM₁∥AB，M₃M₂∥AB，且与AB距离相等，
∵D（-1，4），
∴E（-1，2）、则N（-1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM₁解析式为：y=x+5，
直线M₃M₂解析式为：y=x+1，
∴x+5=-x²-2x+3或x+1=-x²-2x+3，
∴x₁=-1，x₂=-2，x₃=

?3+ 17

2

，x₄=

?3? 17

2

，
∴M₁（-2，3），M₂（

?3+ 17

2

，

?1+ 17

2

），M₃（

?3? 17

2

，

?1? 17

2

）．