Question

设limx→0f（x）／x=1，且f‘’（x）＞0，证明：f（x）＞x。求大神详细解析步骤。

Answer 1

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

由lim[f(x)/x] =1 知 x->0时 f(x)必趋近于0，补充定义: f(0) =0
则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1
构造函数 g(x)= f(x) -x, 则 g '(x) = f '(x) -1, g"(x)= f"(x)>0
所以 g '(x) 是严格递增函数， 当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0， 此时 g(x) >0, 即 f(x)> x
当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0， 此时 g(x) < 0, 即 f(x)< x
因此，个人感觉这道题似乎有些不严谨~

追问

我这里有份答案，但我不知道最后一步f（x）是怎么得出来的，能帮我解释一下吗？谢谢。

追答

那一步是用了2阶的泰勒展开式 对于任何函数f(x), 如果它二阶可导，则有
f(x) = f(x0)+ f '(x0) *(x-x0)+ f ''(r)/2 *(x-x0)^2
这里 x0 取了0罢了
还有我刚才推导的时候有个地方错了
x g(0)=0, 即 f(x)>x
故 x不等于0时， f(x)恒大于x

Answer 3

泰勒公式展开，f(x)直接得出结论