Question

设P是一个数集，且至少含有三个数，若对任意a，b∈P（a≠b）都有a+b，a-b、ab、ab∈P （除数b≠0 ），则

设P是一个数集，且至少含有三个数，若对任意a，b∈P（a≠b）都有a+b，a-b、ab、ab∈P （除数b≠0 ），则称P是一个数域．例如：有理数集Q 是数域，实数集R也是数域．（1）求证：整数集Z不是数域；（2）求证：数域必含有0，1两个数；（3）若有理数集Q?M，那么数集M 是否一定为数域？说明理由．

Answer 1

证明：（1）若整数集Z是数域，…（1分）
则由1∈Z，2∈Z，得

1

2

∈Z，…（3分）
与

1

2

? Z矛盾．                    …（4分）
故整数集Z是数域不可能，即整数集Z不是数域   …（5分）
（2）设P是一个数域，a，b∈P，a≠b，ab≠0
则(a+b)∈P ， 

a+b

b

∈P ， 

a

b

∈P 

所以

a+b

b

?

a

b

＝1∈P …（8分）
同理可得，

a

b

?

a+b

b

＝?1∈P …（9分）
所以-1+1=0∈P                   …（10分）
故数域必含有0，1两个数
（3）数集M 
不一定为数域．                        …（11分）
例如：①若M=R，则Q?M，且M 是数域；      …（12分）
②若M={x|x∈Q，或x＝

2

 }则Q?M，但M 不是数域；…（13分）
假设M是数域，则由-1∈M，

2

∈M，得?1×

2

＝?

2

∈M 

所以?

2

∈Q 与?

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