Question

已知函数f（x）=x+b1+x2为奇函数．（1）求b的值；（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（3

已知函数f（x）=x+b1+x2为奇函数．（1）求b的值；（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（3）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=

x+b

1+x2

为定义在R上的奇函数，∴f（0）=b=0．
（2）由（1）可得f（x）=

x

1+x2

，下面证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
证明：设x₂＞x₁＞0，则有f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1+x1?x22?x2?x2?x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x1?x2)(1?x1?x2)

(1+x12)(1+x22)

．
再根据x₂＞x₁＞0，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x₁-x₂＜0，1-x₁?x₂＜0，∴

(x1?x2)(1?x1?x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（3）由不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，可得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）=f（x² -2x+4），
再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x² ＜x² -2x+4，且x＞1求得1＜x＜3，
故不等式的解集为（1，3）．