Question

微分方程y’-y=1的通解是？我用特征方程算的是y=ce^x。答案是y=ce^x-1。那个-1是怎

微分方程y’-y=1的通解是？我用特征方程算的是y=ce^x。答案是y=ce^x-1。那个-1是怎么来的呢？

Answer 1

y’-y=0时为一阶齐次方程，齐次方程的解为y=Ce^x。

如果y’-y=f(x)，我们要求其“特解”。
在这里，特解为-1。
所以，微分方程的全解为“齐次解”+“特解”=y=Ce^x-1。
通常情况下，若f(x)为n次多项式，其特解的形式必为n次多项式；
比如y’-y=x^2+1
设f(x)=x^2+3x+1，其特解的形式则=g(x)=ax^2+bx+c；
把g(x)带入y，得到
2ax+b+ax^2+bx+c=x^2+3x+1
ax^2+(2a+b)x+(b+c)=x^2+3x+1
比较两边系数，得到a=1，b=1，c=0，所以g(x)=x^2+x
我们知道此微分方程的“齐次解”为y=Ce^x，“特解”为x^2+x，
所以全解为y=Ce^x+x^2+x。
在y'-y=1中，f(x)为0次多项式。