Question

设函数f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且3∫f(x)dx=f(0),(上限为1，下

设函数f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且3∫f(x)dx=f(0),(上限为1，下限为2／3），证明：在（0，1）内至少存在一点C使f’（C）＝0，这里由中值定理得出f(ξ)=0后，怎么由罗尔中值定理得出答案？

Answer 1

故根据罗尔定理，可知道，在（0，k）上存在一点c使得，f‘（c）=0
因此在（0，1）内至少存在一点C使f’（C）＝0

追问

为什么知道两端点函数值相等？

Answer 2

设F(x)为f(x)的原函数，则3∫(上限为1，下限为2／3)f(x)dx =(F(1)-F(2/3))/(1-2/3)=f(0),根据拉格朗日定理，存在c在(2/3,1)上使得F’（C）=(F(1)-F(2/3))/(1-2/3)=f(0),根据罗尔定理可得在0与c之间必存在一点ξ使得f'（ξ）=0