Question

如图，在△ABC中，求证：（1）若AD为∠BAC的平分线，则S △ABD ∶S △ACD =AB∶AC；（2）设D为BC边上一点

如图，在△ABC中，求证：（1）若AD为∠BAC的平分线，则S △ABD ∶S △ACD =AB∶AC；（2）设D为BC边上一点，连结AD，若S △ABD ∶S △ACD =AB∶AC，则AD为∠BAC的平分线。

Answer 1

证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， （1）∵AD平分∠BAC，∴DE=DF ∵S △ABD = ·AB·DE，S △ACD = ·AC·DF， ∴S △ABD ∶S △ACD =AB∶AC （2）∵S △ABD = ·AB·DE，S △ACD = ·AC·DF， S △ABD ∶S △ACD =（AB·DE）∶（AC·DF） ∵S △ABD ∶S △ACD =AB∶AC， ∴ ∴DE=DF ∴AD为角平分线。