Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求AB1与平面BDD1B1所成角的

如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求AB1与平面BDD1B1所成角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵DD₁⊥面AC，AC?平面AC，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，BD?平面BDD₁B₁，DD₁?平面BDD₁B₁
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
（Ⅱ）连结AC，BD交于O，
∵AO⊥平面BDD₁B₁，连结OB₁，A在平面BDD₁B₁上的射影为为O，
∴∠AB₁O为直线AB₁与平面BDD₁B₁所成的角，
OB₁=

OB2+BB12

=

12+( 2 2 )2

 =

6

2

，AB₁=

2

在Rt△AB₁O中，cos∠AB₁O=

OB1

AB1

=

6 2

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